Propriedades da potenciação de números naturais
Arquivo de descoberta 2
Quando as potências começam a revelar seus padrões
Introdução conceitual
Na descoberta anterior, aprendemos que a potenciação representa multiplicações repetidas de um mesmo número.
Por exemplo: [math] 3^ {3} = 3 \times 3 \times 3 [/math]
Esse tipo de representação facilita muito os cálculos quando um número aparece multiplicado várias vezes.
Mas ao trabalhar com diferentes potências, os matemáticos perceberam algo interessante.
Observe as expressões:
[math] 2^ {2} \times 2^ {3} [/math]
[math] 4^ {2} \times 4^ {3} [/math]
[math] 5^ {2} \times 5^ {3} [/math]
Será que existe algum padrão escondido nesses cálculos?
A matemática costuma revelar regularidades quando observamos os números com atenção.
Essas regularidades são chamadas de propriedades matemáticas.
No caso da potenciação, existem algumas regras que ajudam a simplificar operações envolvendo potências.
Essas regras são conhecidas como propriedades da potenciação.
Missão da descoberta
Ao concluir esta descoberta, você deverá ser capaz de:
✔ Compreender o que são propriedades matemáticas
✔ Entender que a potenciação possui regras próprias
✔ Identificar padrões em operações envolvendo potências
✔ Reconhecer a utilidade dessas propriedades para simplificar cálculos
Pré-requisitos
Para acompanhar bem esta descoberta, recomenda-se que você já saiba:
Multiplicação de números naturais
Representação de potências
Identificação de base e expoente
Se necessário, revise antes o Arquivo de Descoberta 1 — Potenciação de números naturais.
Dica Numivor
A matemática está cheia de padrões.
Quando matemáticos encontram um padrão que funciona sempre, eles o transformam em uma propriedade matemática.
Essas propriedades ajudam a:
simplificar cálculos
organizar o raciocínio
resolver problemas complexos com mais rapidez
As propriedades da potenciação são muito utilizadas em áreas como:
ciência da computação
engenharia
física
criptografia
Mas como essas propriedades aparecem na prática?
Foi exatamente isso que os alunos da Escola Galois
começaram a investigar no Laboratório Numivor.
Um novo desafio no Laboratório do colégio Galois
Na manhã seguinte ao experimento da rede de drones, a turma voltou ao Laboratório Numivor da Escola Galois.
O grande telão ainda exibia o mapa de Quantáris.
A rede de drones continuava monitorando a cidade.
Professora Marla caminhou até o quadro e escreveu algumas expressões.
[math] 2^ {2} \times 2^ {3} [/math]
[math] 3^ {2} \times 3^ {3} [/math]
[math] 4^ {2} \times 4^ {3} [/math]
Malik observou as expressões escritas no quadro por alguns segundos.
— Professora… se estamos multiplicando potências, será que os expoentes também deveriam ser multiplicados?
Ele rapidamente fez um palpite no caderno:
[math] 2^ {2} \times 2^ {3} → 2^ {6} [/math]
Denise olhou novamente para as expressões no quadro.
— Ou talvez exista algum outro padrão escondido nessas multiplicações…
Marla sorriu.
— Excelente pergunta — disse ela.
— Vamos investigar expandindo essas potências.
Antes de começar, ela chamou atenção para um detalhe importante:
— Todas essas expressões possuem a mesma base.
Ela escreveu no quadro:
[math] 2^ {2} = 2 \times 2 [/math]
[math] 2^ {3} = 2 \times 2 \times 2 [/math]
Depois juntou as multiplicações:
[math] 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 [/math]
Denise olhou para o cálculo.
— O número 2 aparece cinco vezes!
— Isso significa que estamos multiplicando cinco fatores iguais.
— Interessante — disse Marla.
— Vamos observar outras expressões também.
Denise imaginou novamente o céu de Quantáris.
Ela pensou na rede de drones funcionando em diferentes momentos.
Primeiro um grupo de drones realizava um conjunto de operações.
Depois outro grupo iniciava novas operações semelhantes.
Quando esses grupos se combinavam, era como se as atividades se organizassem em uma estrutura maior e mais eficiente.
Talvez a matemática também estivesse revelando algum padrão escondido.
A visualização de Denise ajuda a entender como grupos de potências podem se combinar para formar uma nova potência.
Conclusão matemática
Quando uma operação matemática apresenta padrões que se repetem em diferentes situações, os matemáticos costumam formular propriedades matemáticas.
Uma propriedade matemática é uma regra que descreve um comportamento que sempre acontece.
No caso da potenciação, existem várias propriedades importantes que ajudam a simplificar cálculos.
Entre elas estão:
multiplicação de potências de mesma base
divisão de potências de mesma base
potência de potência
potência de um produto
Cada uma dessas propriedades surge a partir de padrões que aparecem quando analisamos as multiplicações que formam as potências.
Essas propriedades serão exploradas nas próximas descobertas.
Mas será que você já consegue identificá-lo sozinho?
Agora que você já tem uma ideia do que é uma propriedade da potenciação,
tente resolver este pequeno desafio.
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Erro frequente
Alguns estudantes acreditam que as propriedades da potenciação são apenas regras que precisam ser decoradas.
Na verdade, essas propriedades surgem naturalmente das multiplicações que formam as potências.
Quando expandimos as potências, conseguimos enxergar claramente por que essas regras funcionam.
É exatamente isso que os alunos da Escola Galois estão começando a investigar.
“A maior habilidade de um líder é desenvolver habilidades extraordinárias em pessoas comuns.”
Abraham Lincoln
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Competências desenvolvidas:
- Compreensão do conceito de propriedade matemática
- Identificação de padrões em potências
- Preparação para o estudo das propriedades da potenciação
Continue a história
Enquanto os alunos observavam os exemplos no quadro,
Nassor levantou a mão.
— Professora… acho que encontrei um padrão.
Marla sorriu.
— Então venha até o quadro e nos mostre.
Nassor começou a expandir a expressão:
[math] 3^ {2} \times 3^ {3} [/math]
Talvez ali estivesse escondida a primeira propriedade da potenciação.
👉🏿 No próximo arquivo de descoberta, os alunos irão investigar a multiplicação de potências de mesma base.
Continue praticando
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